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Le Appendici forniscono inoltre un breve ripasso di alcune nozioni di matematica di base, di un po di simbologia, e introducono anche qualche argomento più avanzato. Il corso si propone di rendere accessibili agli studenti i concetti di base dell analisi dei dati psicologici e della metodologia della ricerca psicologica.

Esempio Per la v. X dell esempio Esistono anche v. I concetti introdotti sono ovviamente generalizzabili a v. Il ragionamento si estende in modo ovvio per il caso n-dimensionale. Una rappresentazione grafica della distribuzione di probabilità congiunta e delle distribuzioni di probabilità marginali nel caso continuo è riportato in Figura Figura Esempio Consideriamo l estrazione di due numeri del lotto.

Si calcoli la probabilità che vengano estratti due numeri consecutivi. Per assegnare una densità alla variabile Z notiamo che i possibili risultati sono tutte le coppie i, j dove i e j sono numeri fra uno e novanta diversi fra loro.

Visto che il primo numero è estratto fra 90 possibili ed il secondo è estratto fra 89 possibili numeri ci sono in tutto diverse coppie. Con la densità siamo in grado di calcolare la probabilità di qualsiasi evento. Esempio Consideriamo nuovamente l esperimento casuale descritto nell esercizio Si calcolino le densità marginali della X e della Y. La densità marginale della X si trova saturando la densità congiunta sulla Y.

Quindi la distribuzione marginale della X è uniforme, fra 1 e Lo stesso risultato si ricava per la Y Covarianza e correlazione La covarianza e la correlazione quantificano la tendenza delle variabili X e Y a variare assieme Covarianza La covarianza è una misura del legame lineare tra due variabili casuali X ed Y.

Definizione Date due v. Esempio Siano X e Y due v. Le variabili aleatorie X e Y sono mutuamente indipendenti? Quindi le due v. Tuttavia, esse non sono indipendenti, in quanto non è vero che per tutti gli x e y. Lo svolgimento dei calcoli con R è riportato qui sotto. Una misura standardizzata della relazione che intercorre fra due variabili è invece rappresentata dalla correlazione.

La correlazione si ottiene dividendo la covarianza per le deviazioni standard delle due v. Quindi, la covarianza fallisce nel rilevamento dell associazione tra le variabili X e Y.

Tabella Nel caso discreto, se X e Y sono indipendenti, allora la densità congiunta è data dal prodotto delle distribuzioni marginali. Se si punta sul rosso una quota pari a 1 la vincita possibile è di 1. In ogni puntata il giocatore vince 1 o perde 1. Dunque i valori di X sono 1 e 1. Questo gioco è conveniente per il giocatore? Un laboratorio in Italia misura la temperatura di dati che sono generati a caso. La temperatura media è di 5.

Si trovi il valore atteso dei dati espressi in Fahrenheit Si consideri una moneta disonesta in cui la probabilità di ottenere testa è. X assume valore 1 quando si osserva testa e 0 altrimenti. Si trovino il valore atteso, la varianza e la deviazione standard di X Si trovino le varianze delle v. W, X,Y e Z. W è una costante con valore 4.

Per queste v. The law would have been personified by the Greeks and deified, if they had known of it. It reigns with severity in complete self-effacement amidst the wildest confusion.

The huger the mob and the greater the anarchy the more perfect is its sway. Let a large sample of chaotic elements be taken and marshalled in order of their magnitudes, and then, however wildly irregular they appeared, an unexpected and most beautiful form of regularity proves to have been present all along. Francis Galton I concetti chiave sono le variabili aleatorie discrete e continue, le distribuzioni di probabilità per variabili discrete, il valore atteso, la varianza e la deviazione standard di una variabile aleatoria discreta e infine la covarianza tra due variabili aleatorie Che cos è il modello probabilistico di un fenomeno empirico?

Le distribuzioni di probabilità possono essere usate come il modello teorico di un fenomeno empirico. Ad esempio, Meacock immagina la situazione nella quale tre persone a teatro ritornano al loro posto dopo l interruzione, arrivando in ordine casuale.

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Le persone arrivano dal corridoio centrale e, se devono raggiungere un posto che sta oltre uno già occupato, la persona che occupa quel posto deve alzarsi e poi sedersi nuovamente. Rispetto alla disposizione dei posti indicata dalla figura Se arrivano invece nell ordine. Il numero di movimenti per ciascun ordine di arrivo è indicato nella tabella Tabella Esso indica il numero minimo 3 e il numero massimo dei movimenti 9. La distribuzione di probabilità proposta da Meacock riguarda un caso specifico.

Di seguito verranno esaminate le distribuzioni di probabilità più comunemente usate in statistica, che hanno applicazioni molto più generali Variabili discrete Distribuzione di Bernoulli Se un esperimento casuale ha solo due esiti possibili, allora le repliche indipendenti di questo esperimento sono chiamate prove Bernoulliane il lancio di una moneta è il tipico esempio. Viene detta variabile di Bernoulli una v. La distribuzione binomiale con parametri n e p fornisce l elenco delle probabilità associate a ciascuno dei possibili valori che la variabile X.

Le distribuzioni binomiali sono una famiglia di distribuzioni di probabilità: al variare dei parametri p e n variano le probabilità. Consideriamo l esperimento casuale che consiste nel lancio di due monete oneste. Sia X il numero di volte in cui l esito testa viene osservato. Per calcolare la distribuzione di probabilità di X possiamo elencare tutti gli eventi che costituiscono lo spazio campionario e calcolare la probabilità di ciascuno di questi eventi. Dobbiamo dunque seguire un metodo diverso.

In quanti modi diversi si possono osservare 2 esiti testa in 4 lanci? Queste sequenze costituiscono sei eventi indipendenti. Ciascuno di questi eventi ha una probabilità di di verificarsi. Il coefficiente binomiale n k specifica il numero di modi combinazioni in cui possono essere osservati k successi e n k insuccessi in una sequenza di n prove bernoulliane: n n!

In generale, la probabilità di ottenere k successi e n k insuccessi in n prove bernoulliane con probabilità di successo uguale a p è pari a: p k 1 p n k. Se k oppure n k sono uguali a 0, dunque, il fattore corrispondente p 0 oppure 1 p 0 sarà uguale a 1. Utilizzando i due risultati precedenti, ovvero il numero di combinazioni di k successi e n k insuccessi in n prove bernoulliane pari a n k e il fatto che la probabilità di una specifica sequenza di k successi e n k insuccessi sia uguale a p k 1 p n k, otteniamo la formula per calcolare tutte le probabilità della distribuzione binomiale.

Teorema Una v. X è la somma di n prove Bernoulliane indipendenti. A path in this diagram is any descending line which starts at the top row, ends at the bottom row, and passes through exactly one symbol X or O in each row. È difficile trovare in maniera intuitiva una soluzione a questo problema e Tversky e Kahneman si aspettavano che i soggetti avrebbero stimato la frequenza relativa dei diversi tipi di percorsi basandosi sulla facilità con cui ciascun tipo di percorso poteva essere costruito a partire dall ispezione del diagramma.

I risultati riportati nella figura Osservazione Si noti che l uso della funzione di ripartizione per il calcolo delle probabilità in un intervallo di valori è diverso quando la variabile aleatoria è discreta anziché continua.

Nel caso discreto invece le cose sono più complicate perché dobbiamo distinguere i casi in cui gli estremi dell intervallo appartengono all intervallo oppure no.

Consideriamo la v. Notiamo che gli estremi sono compresi nell intervallo. Esempio Sia X una v. Soluzione: 1. Per verificare numericamente che la soluzione trovata sopra sia corretta, consideriamo , estrazioni casuali dalla distribuzione uniforme definita in precedenza.

L area di un rettangolo è data dalla metà del prodotto del numero che misura la sua base per il numero che misura la sua altezza. Nel nostro caso ci poniamo il problema di trovare l altezza, f m , tale per cui l area del triangolo sia 1.

Calcoliamo ora la funzione della retta passante per i punti 15, 0. L intercetta.

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In maniera corrispondente, la funzione della retta passante per i punti 5, 0 e 15, 0. Soluzione: Per calcolare P 15 x 18 , dobbiamo trovare l area sottesa alla funzione triangolare nell intervallo compreso tra 18 e 25 e sottrarre poi tale valore da 0.

Di default la funzione ptriangle assume che la funzione di densità sia simmetrica. Adolphe Quetelet, il padre delle scienze sociali quantitative, fu il primo ad applicare tale densità alle misurazioni dell uomo. Per introdurre le distribuzioni normali, consideriamo ora un esempio proposto da McElreath Supponiamo che vi siano mille persone tutte allineate su una linea di partenza.

Quando viene dato un segnale, ciascuna persona lancia una moneta e fa un passo in una direzione, oppure nella direzione opposta, a seconda dell esito del lancio. Supponiamo che la lunghezza di ciascun passo vari da 0 a 1 metro.

Ciascuna persona lancia la moneta 16 volte e dunque fa 16 passi. Alla conclusione di queste passeggiate aleatorie random walk , non possiamo sapere dove si troverà ciascuna delle persone considerate, ma possiamo conoscere con certezza le caratteristiche della distribuzione delle mille distanze dall origine.

Per esempio, possiamo predire la proporzione di persone che si saranno spostate avanti oppure indietro. Oppure, possiamo predire la proporzione di persone che si troveranno ad una certa distanza es. Queste predizioni sono possibili perché le distanze create in questo modo si distribuiscono in maniera normale, o gaussiana.

È facile simulare questo processo usando R. I risultati della simulazione sono riportati nelle Figure Non importa quale sia la forma della distribuzione soggiacente.

La forma della distribuzione soggiacente determina la velocità con cui la convergenza alla normale si realizza. In alcuni casi la convergenza è lenta; in altri casi, come nell esempio presente, la convergenza è molto rapida. La distribuzione normale è la linea continua sovrapposta a ciascun pannello. La distribuzione normale è importante, in primo luogo, perché molti fenomeni naturali hanno approssimativamente le caratteristiche descritte dall esempio precedente.

In secondo luogo, è importante perché molti modelli statistici assumono che il fenomeno aleatorio di interesse sia distribuito normalmente. Definizione Una v. Distribuzione limite Se eseguiamo un nuovo insieme di N misurazioni della grandezza X descritta nell esempio di McElreath ovvero la distanza percorsa dopo 16 passi, ad esempio otterremo un istogramma diverso da quello illustrato nella figura Possiamo dunque dire che l istogramma relativo a N misurazioni ed i suoi parametri statistici quali media e varianza hanno un carattere aleatorio, ovvero sono diversi ogni volta che vengono osservati.

In maniera corrispondente, anche le differenze tra i valori della media e della varianza delle osservazioni relative a istogrammi. Questo risultato ci porta ad introdurre il concetto di istogramma limite a cui tendono ad assomigliare i singoli istogrammi empirici al crescere del numero di misure N.

Diciamo che un istogramma empirico tende all istogramma limite per N. Nel caso di un fenomeno come quello descritto nell esempio di McElreath ma non sempre l istogramma empirico tende ad assumere una forma simmetrica a campana. Anche l istogramma limite avrà allora una forma a campana e la funzione più adatta a descrivere tale andamento è l equazione Possiamo pertanto considerare la distribuzione gaussiana come il limite di un istogramma normalizzato in area per N e quando ogni barra dell istogramma 0.

In qualunque situazione concreta l istogramma empirico sarà sempre diverso dalla distribuzione limite. I parametri di una distribuzione limite non possono essere determinati con esattezza a partire da un suo campionamento finito: infatti, per quanto possa essere grande il numero N di misure, le statistiche X e s 2 hanno sempre un carattere aleatorio ovvero, variano da campione a campione. Nella Tutte le distribuzioni normali si ottengono dalla normale standard mediante una trasformazione lineare, come indicato dal Teorema Il valore della funzione di ripartizione di X nel punto x è l area sottesa alla curva di densità f x nella semiretta , x] Figura I valori della funzione di ripartizione della variabile normale sono forniti da un software o dalle tavole riportate sui testi di statistica.

Per potere utilizzare i valori tabulati si ricorre al procedimento di standardizzazione che riconduce una v. Per la simmetria della distribuzione, l area sottesa nella semiretta [1, è uguale all area sottesa nella semiretta , 1] e quest ultima coincide con F 1. Esempio Ad esempio, la distribuzione binomiale valuta la probabilità che su 9 lanci di dado il tre esca due volte.

Uno dei primi usi della distribuzione gaussiana fu quello di approssimare la distribuzione binomiale per N grande. Prima che fossero disponibili i computer, il calcolo delle probabilità della distribuzione binomiale era estremamente difficile. L approssimazione normale alla distribuzione binomiale consentiva di svolgere questi calcoli che altrimenti sarebbero stati intrattabili.

Questo teorema fu scoperto da Abraham de Moivre all inizio del e generalizzato da Laplace cent anni dopo. Esempio Nella Figura Esempio Qual è la probabilità di osservare il numero 4 un numero di volte compreso tra 90 e in lanci di un dado? Sia X il numero di volte in cui si osserva 4 in lanci del dado. Sia Y una v. Si dice combinazione lineare delle n v. Un caso importante è quello in cui X 1, X 2, Qual è la probabilità che la somma dei punteggi di 10 partecipanti sia minore di ? Siano X 1, Si assuma che l altezza di maschi sia indipendente dall altezza delle femmine e che entrambe siano normalmente distribuite.

Se un uomo e una donna adulti vengono scelti a caso, qual è la probabilità che la donna sia più altra dell uomo? Se l oggetto considerato ha un peso uguale a w, il peso osservato sarà dato dal suo peso vero e dall errore di misurazione. Sia X il peso osservato.

Chiediamoci quale sia la probabilità di ottenere una misurazione che non differisca di più di un grammo dal peso vero. Tale principio si estende a qualunque numero finito di v. Per la definizione della distribuzione t di Student, è importante il seguente teorema.

L andamento della distribuzione t di Student è simile a quello della distribuzione normale standard, ma ha una maggiore dispersione ha le code più pesanti di una normale standard, ovvero ha una varianza maggiore di 1. L importanza della distribuzione t di Student è dovuta alla seguente proprietà. Teorema Siano date n variabili aleatorie indipendenti X 1, Il teorema Di conseguenza, in base alle equazioni e Siano s1 2 e s2 2 le varianze campionarie calcolate in base alla Per la Questo principio costituisce il fondamento dell Analisi della varianza si veda la Si definisca la v.

Mentre il valore atteso di X è indipendente dall ampiezza del campione, la sua varianza tende a 0 per n. Da questa proprietà discende il seguente risultato. Teorema Sia X 1, X 2, Il Teorema del limite centrale afferma che la v. Z n tende in distribuzione alla normale standard al crescere di n, qualunque sia la distribuzione delle n variabili che costituiscono il campione, purché nessuna di esse sia predominante rispetto alle altre.

Teorema Siano X 1, X 2, Infine, il Teorema del limite centrale garantisce che la media campionaria è distribuita come una normale se il campione è estratto da una popolazione anch essa distribuita normalmente. Esempio Verifichiamo la validità del Teorema del Limite Centrale con una simulazione numerica. Si considerino le seguenti v. Osserviamo 10, realizzazioni di ciascuna v. La linea continua rappresenta la densità della v. Problemi Si consideri l esperimento eseguito da Tversky and Kahneman e riportato nell osservazione Usando R, si trovi la distribuzione binomiale corretta per la soluzione del problema.

Si confrontino i risultati ottenuti con quelli riportati nella figura John Tukey Definizione Si dice popolazione o collettivo statistico o universo l insieme S delle entità capaci di fornire informazioni sul fenomeno oggetto di un indagine statistica.

Un sottoinsieme della popolazione viene detto campione. Definizione Definiamo carattere la proprietà o grandezza che è oggetto di studio in un indagine statistica. Le modalità osservate e facenti parte del campione si chiamano dati si veda la tabella Di conseguenza, essi rappresentano le proprietà del fenomeno empirico oggetto di studio con gradi diversi di approssimazione, a seconda della validità e dell attendibilità dello strumento di misurazione con cui sono stati ottenuti.

È importante in questo contesto la Teoria sulle Scale di Misura introdotta da Stevens La scala di misura è l insieme dei numeri o simboli le cui modalità rispecchiano più o meno fedelmente le proprietà dei caratteri a cui tali numeri o simboli sono stati assegnati.

Per esempio, quando si misura la temperatura carattere di un certo oggetto unità statistica attraverso il termometro si assegna uno e un solo numero di gradi modalità della variabile a quell oggetto in maniera tale che la modalità della variabile rappresenti l intensità del carattere per quell unità statistica. Una caratteristica importante delle scale di misura è che esse possono essere trasformate per esempio, possiamo misurare la temperatura in gradi centigradi o in gradi Fahrenheit.

Alcune trasformazioni applicate alle scale di misura sono tali per cui le relazioni tra i valori trasformati delle scale di misura continuano a rappresentare le proprietà dei fenomeni considerati in maniera equivalente ai valori originari delle scale. Altri tipi di trasformazioni invece introducono delle distorsioni nella rappresentazione numerica del fenomeno considerato. Esiste la sola relazione di equivalenza tra le misure delle u.

È ammessa l operazione del conteggio delle u. Esempio Esempi di scala nominale sono il genere, il credo religioso, il gruppo etnico, la provenienza geografica, Scala ordinale La scala ordinale conserva la proprietà della scala nominale di classificare ciascun dato all interno di una sola categoria, ma alla relazione di equivalenza tra elementi di una stessa classe aggiunge la relazione di ordinamento tra le varie classi di equivalenza.

I numeri che vengono assegnati alle modalità non corrispondono all intensità della proprietà misurata: essi rappresentano soltanto la relazione d ordine più grande di tra le modalità. Essendo basata su una relazione d ordine, una scala ordinale descrive soltanto l ordine di. Non ci dice, per esempio, se la distanza tra le modalità a e b sia uguale, maggiore o minore della distanza tra le modalità b e c.

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Le operazioni algebriche ammesse sulle misure a livello di scala ordinale sono analoghe a quelle consentite per le scale nominali. A partire da una scala ordinale è possibile costruire altre scale equivalenti trasformando i valori della scala di partenza per mezzo di qualunque trasformazione che preservi l ordinamento tra le modalità.

Esempio La scala ordinale di Mohs per la determinazione della durezza dei minerali è il classico esempio di scala di misura a livello ordinale.

Per stabilire la durezza dei minerali si usa il criterio empirico della scalfittura. Vengono stabiliti livelli di durezza crescente da 1 a 10 con riferimento a dieci minerali: talco, gesso, calcite, fluorite, apatite, ortoclasio, quarzo, topazio, corindone e diamante.

Un minerale appartenente ad uno di questi livelli se scalfisce quello di livello inferiore ed è scalfito da quello di livello superiore. Altri esempi sono la scala Mercalli 1 11 , i gradi militari, il titolo di studio e la graduatoria in un concorso Scala ad intervalli La scala ad intervalli include le proprietà di quella nominale e di quella ordinale, e in più consente di misurare le distanze tra le coppie di u.

La posizione dell origine della scala, cioè il punto zero, è scelta arbitrariamente, nel senso che non indica l assenza della quantità che si sta misurando. Avendo uno zero arbitrario, questa scala di misura consente valori negativi. Lo zero, infatti, non viene attribuito all u.

La scala a intervalli equivalenti ci consente di effettuare operazioni algebriche basate sulla differenza tra i numeri associati ai diversi punti della scala, operazioni algebriche non era possibile eseguire nel caso di misure a livello di scala ordinale o nominale.

Il limite della scala ad intervalli è quello di non consentire il calcolo del rapporto tra coppie di misure. Possiamo dire, per esempio, che la distanza tra a e b è la metà della distanza tra c e d. Oppure che la distanza tra a e b è uguale alla distanza tra c e d. Non possiamo cioè stabilire dei rapporti diretti tra le misure ottenute.

Poiché l aggiunta di una costante non altera le differenze tra i valori della scala, è anche ammessa la traslazione, operazione che consiste nel sommare una costante a tutti i valori della scala. Esempio Esempio di scala ad intervalli è la temperatura misurata in gradi Celsius o Fahrenheit, ma non Kelvin. I valori di temperatura, oltre a poter essere ordinati secondo l intensità del fenomeno, godono della proprietà che le differenze tra loro sono direttamente confrontabili e quantificabili.

Ad esempio, una temperatura di 80 gradi Celsius non è il doppio di una di 40 gradi Celsius. Se infatti esprimiamo le stesse temperature nei termini della scala Fahrenheit, allora i due valori non saranno in rapporto di 1 a 2 tra loro.

Questo significa che la relazione il doppio di che avevamo individuato in precedenza si applicava ai numeri della scala centigrada, ma non alla proprietà che è stata misurata temperatura.

La decisione di che scala usare Centigrada vs. Fahrenheit è arbitraria. Ma questa arbitrarietà non deve influenzare le inferenze che traiamo dai dati. Queste inferenze, infatti, devono dirci qualcosa a proposito della realtà empirica e non possono in nessun modo essere condizionate dalle nostre scelte arbitrarie che ci portano a scegliere la scala centigrada piuttosto che quella Fahrenheit. L aspetto che rimane invariante a seguito di una trasformazione lineare è l uguaglianza dei rapporti fra intervalli.

Alle u. Operazioni aritmetiche sono possibili non solo sulle differenze tra i valori della scala come per la scala a intervalli equivalenti , ma anche sui valori stessi della scala. L unica arbitrarietà riguarda l unità di misura che si utilizza.

Esempi di misure su scala a rapporti equivalenti usate negli esperimenti di psicologia sono: il numero di risposte corrette in un test di abilità, i tempi di reazione, il ritmo cardiaco e il numero di volte in cui si è verificato un certo comportamento Gerarchia dei livelli di scala di misura Stevens parla di livelli di scala poiché i quattro tipi da lui distinti stanno in una precisa gerarchia: la scala nominale rappresenta il livello più basso della misurazione, la scala a rapporti equivalenti è invece il livello più alto.

Salendo la gerarchia, la natura delle funzioni di trasformazione si fa più restrittiva Classificazione dei caratteri I caratteri statistici possono essere suddivisi in due categorie: caratteri qualitativi e caratteri quantitativi. Definizione Un carattere viene detto qualitativo o mutabile se le sue modalità sono espresse in termini di attributi; un carattere viene detto quantitativo o variabile se le sue modalità sono espresse in termini numerici.

L insieme M delle modalità è dunque un insieme finito o infinito numerabile. Si tratta per lo più di caratteri le cui modalità si ottengono con un conteggio. Si tratta generalmente di caratteri le cui modalità derivano da operazioni di misurazione Mutabili e variabili statistiche Per ciascun carattere in esame si definisce la scala di misura che si intende adottare e l insieme M delle modalità. La rilevazione dei caratteri di interesse su ciascuna unità statistica individua una corrispondenza tra collettivo statistico S di riferimento e l insieme M delle modalità del carattere in esame.

Definizione Si dice mutabile statistica la funzione che associa a ciascun elemento del collettivo statistico S uno ed uno solo elemento dell insieme M delle modalità del carattere in esame, se il carattere è di tipo qualitativo; si dice variabile statistica la funzione che associa a ciascun elemento di S uno ed uno solo elemento dell insieme M se il carattere è di tipo quantitativo ovvero se l insieme M è costituito da elementi di R.

La matrice dei dati Consideriamo ora le n unità del collettivo statistico S. Definizione Viene detto insieme dei dati individuali di una mutabile statistica A o di una variabile statistica X l insieme costituito dalle loro n determinazioni.

Gli insiemi dei dati individuali contengono tutte le informazioni circa i caratteri rilevati. Le elaborazioni statistiche volte a descrivere il fenomeno di interesse hanno come oggetto l insieme dei dati individuali. Ogni riga della matrice contiene tutte le informazioni relative alla stessa unità statistica. Una generica matrice dei dati ha l aspetto seguente. Banksy Se non vengono ordinati in qualche modo, i dati grezzi del campione solitamente non forniscono informazioni utili sul carattere di interesse.

Un intervallo si dice chiuso se gli estremi sono compresi nell intervallo, aperto se gli estremi non sono compresi.

Le caratteristiche degli intervalli sono riportate nella tabella seguente. La frequenza assoluta n i di ciascuna classe, ovvero il numero di osservazioni che ricadono nella classe i.

Dopo avere inserito nel vettore x i tassi di omicidi per , abitanti nei 50 stati americani, la tabella cercata si ottiene con le seguenti istruzioni R. Il file di aiuto della funzione fdt riporta le seguenti specificazioni per gli argomenti usati: start left endpoint of the first class interval, end right endpoint of the last class interval e h class interval width.

In questo modo il rettangolo dell istogramma associato alla classe i ha un area proporzionale alla frequenza assoluta n i. Si noti che l area totale dell istogramma delle frequenze assolute è data della somma delle aree dei singoli rettangoli, e quindi vale n. L istogramma delle frequenze relative si costruisce mediante le frequenze relative. Pertanto, l area totale sottesa ai rettangoli deve essere uguale a 1.

Esempio Costruiamo un istogramma delle frequenze assolute per i dati dell esempio Con i sette intervalli individuati nell esempio Consideriamo ora il calcolo dell altezza dei rettangoli. Tale grafico si ottiene unendo fra loro i punti aventi come ascissa il valore centrale di ogni classe e come ordinata il corrispondente valore della frequenza Diagramma cumulativo delle frequenze e ogiva Una distribuzione di frequenze cumulate viene rappresentata con un grafico detto diagramma cumulativo delle frequenze.

I segmenti orizzontali che costituiscono tale grafico si ottiengono rappresentando sulle ascisse i limiti delle classi e sulle ordinate la frequenza cumulata della corrispondente classe.

Unendo i punti aventi come ascissa i limiti superiori delle classi e come ordinata la frequenza cumulata della corrispondente classe si ottiene la cosiddetta ogiva di. L ogiva fornisce una valutazione approssimata della frequenza assoluta, della proporzione, o della percentuale di elementi del campione che hanno un valore minore o uguale a una quantità prefissata.

Esempio Per i dati dell esempio Sono sempre dei rettangoli, non adiacenti, in cui l altezza rappresenta la frequenza assoluta o relativa di quella classe. Sull asse delle ascisse si riportano le modalità del carattere, le quali sono in un ordine arbitrario se si riferiscono ad un carattere qualitativo sconnesso.

Si supponga che un campione di pazienti con disturbi di personalità si suddivida nel modo seguente: Cluster A: 50 pazienti, Cluster B: 40 pazienti e Cluster C: 10 pazienti.

La media campionaria gode delle seguenti proprietà. Proprietà La media aritmetica soddisfa la condizione del Cauchy, ovvero gode della proprietà di internalità, cioè:. Si ordinando anzitutto i dati secondo una sequenza crescente,.

La media spuntata è data dalla media Eq: Si noti che la media pesata non è sempre l indice che meglio rappresenta la tendenza centrale di una distribuzione.

In tali circostanze, la tendenza centrale della distribuzione è meglio rappresentata dalla media spuntata o dalla mediana. I quantili o frattili sono degli indici di posizione che, tramite la funzione di distribuzione, mettono in relazione i valori assunti da una variabile statistica con le frequenze cumulate. Secondo lo stesso criterio, si dicono Decili i quantili di ordine q multiplo di 0. Tali indici, tuttavia, non considerano un aspetto importante del carattere esaminato, ovvero la variabilità dei valori che la variabile statistica assume sul collettivo considerato.

È dunque necessario sintetizzare la distribuzione di frequenze di una variabile statistica oltre che con le misure di posizione anche tramite l utilizzo di indicatori che misurino la dispersione delle u.

L intervallo di variazione manifesta il limite di essere pesantemente influenzato dalla presenza dei valori anomali. Una misura più robusta della variabilità è quella basata sui quantili. Definizione Si definisce differenza interquartile IQR la differenza fra il terzo ed il primo quartile, in simboli x 0.

È buona norma affiancare la differenza x 0. Box-plot Il box-plot o diagramma a scatola è uno strumento grafico utile al fine di ottenere informazioni circa la variabilità e l eventuale simmetria o asimmetria di una distribuzione. Per costruire un box-plot si rappresenta sul piano cartesiano un rettangolo cioè la scatola di altezza arbitraria la cui base corrisponde alla differenza interquartile. La linea interna alla scatola rappresenta la mediana x 0.

Il valore adiacente inferiore è il valore più piccolo tra le osservazioni che risulta maggiore o uguale al primo quartile meno la distanza corrispondente a 1. Il valore adiacente superiore è il valore più grande tra le osservazioni che risulta minore o uguale a Q IQR. I valori esterni ai valori adiacenti chiamati valori anomali vengono rappresentati individualmente nel box-plot per meglio evidenziarne la presenza e la posizione.

Scelto il valore medio rispetto al quale si vuole misurare la dispersione, è possibile poi calcolare la media degli scostamenti dei singoli dati dal valore di riferimento.

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Ad esempio, se scegliamo la mediana quale misura di posizione centrale, è possibile calcolare la media aritmetica della distribuzione degli scarti in valore assoluto tra ciascuna modalità e la mediana stessa. Osservazione A differenza della varianza, la deviazione standard è espressa nella stessa unità di misura dei dati.

La deviazione standard s misura la dispersione attorno alla media e dovrebbe essere usata soltanto quando la media è adeguata per misurare il centro della distribuzione ovvero, nel caso di distribuzioni simmetriche. Come nel caso della media x, anche la deviazione standard è fortemente influenzata dai dati anomali outlier.

Soggetto Dati Media Varianza 1 42, 13, , 30, , 62, 59, 59, Proprietà 1. La varianza e la deviazione standard non mutano se i dati vengono traslati sommando o sottraendo una costante.

Esempio Si considerino i dati x 1, x 2, Varianza e la deviazione standard sono invece influenzate da un cambiamento della scala di misura. Si noti il valore assoluto nell ultima espressione. Non sono possibili varianze o deviazioni standard negative. Gradi di libertà Nella definizione di varianza, la somma dei quadrati degli scarti dalla media viene divisa per n 1, non per n come averrebbe per una semplice media aritmetica.

La divisione per n 1 trova la sua giustificazione nella teoria degli stimatori ed è legata alla nozione di gradi di libertà. Nel caso di n dati, x 1, x 2, Si usano n 1 gradi di libertà nel calcolo della varianza o deviazione standard quando utilizziamo questa statistica per scopi inferenziali, ovvero per stimare la varianza o deviazione standard della popolazione.

La varianza calcolata con n 1 gradi di libertà ci fornisce infatti uno stimatore corretto non distorto per la varianza della popolazione. La varianza calcolata con n gradi di libertà, invece, sottostima la varianza della popolazione: una correzione di questa distorsione si ottiene, appunto, utilizzando al denominatore n 1 anziché n.

Se vogliamo calcolare la varianza come una statista che descrive la variabilità delle unitià di osservazione in un campione, allora nel calcolo della varianza usiamo n gradi di libertà. Se invece vogliamo utilizzare le informazioni. Interpretazione della deviazione standard Si noti che la deviazione standard non è la media delle differenze degli scarti di ciascuna osservazione dalla media questa è sempre 0. Un interpretazione intuitiva e approssimativa della devizione standard è la seguente: la deviazione standard è simile ma non uguale alla media del valore assoluto degli scarti di ciascuna osservazione dalla media.

Esprimendo la distanza tra ciascuna osservazione e la media nei termini della deviazione standard della distribuzione, la standardizzazione fornisce un metodo per misurare la posizione in una distribuzione. In R i dati possono essere standardizzati usando la funzione scale. La funzione di densità empirica, che rappresenta un approssimazione della funzione di densità teorica, non presenta invece questo limite. Nell esempio In questi casi, le misure di variabilità precedentemente descritte si rivelano inadeguate in quanto dipendono dall unità di misura adottata.

Diventa dunque necessario ricorrere a particolari numeri adimensionali detti indici relativi di variabilità. Il più importante di tali indici è il coefficiente di variazione. Un altro indice relativo di variabilità è la differenza interquartile rapportata al primo quartile oppure al terzo quartile oppure alla mediana, cioè: x 0.

Albert Einstein I metodi di analisi descritti in precedenza hanno coinvolto mutabili o variabili statistiche univariate. Consideriamo ora lo studio congiunto di due caratteri simultaneamente rilevati sulle unità di un generico colletivo statistico Distribuzioni congiunte di frequenze Se consideriamo due caratteri differenti di una medesima popolazione, che indichiamo con X e Y, il campione si presenta come un insieme di n coppie x 1, y 1 , x 2, y 2 , Indicati con x, y R gli insiemi delle modalità dei due caratteri, possiamo dividere x in m intervalli e y in l intervalli.

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